德摩根定律是集合论和布尔代数中最重要的规则。这篇文章将详细讨论什么是德摩根定律，关于第一定律和第二定律的细节，这些定律的验证及其应用。
什么是德摩根定律
奥古斯都·德·摩根是一位英国数学家，他制定了集论和布尔代数的法律或规则，涉及三个基本的“集”操作;并、交、补。德摩根定律是两个相互关联的定理。
在命题逻辑和布尔代数中，这些定律被视为变换规则。这些定律可以用维恩图和真值表来证明。
图1 -德摩根定律简介
德摩根的作品非常出色，包括代数、三角学、微分和积分学、概率论和符号逻辑。摩根开创了命题演算。他在19世纪设计了阶乘逼近算法。
图2 -奥古斯都·德·摩根
德摩根定律
他提出的两条定律是:
- 德摩根联合定律或第一定律
- 德摩根交点定律或第二定律
德摩根联合定律或第一定律
第一定律或“并集定律”指出:如果A和B是一个通用子集U的两个有限集或子集，那么不属于∪B的元素就不属于∪A '，也不属于∪B '。相反地，它还指出，不属于A '和不属于B '的元素也不属于A∪B。
(a u b) ' = a '∩b '地点:
∪表示联合(OR)。
A '为A在U中的集合补(NOT)，即A ' = U\A
它也可以定义为;两个集合的并集的补与它们的补的交相等;即。
不是(A或B) =不是A也不是B
德摩根交点定律或第二定律
第二定律或交集定律指出，不在A∩B中的元素不在A '或不在B '中。相反，它还指出不在A '或不在B '的元素也不在A∩B。
(A∩B) ' = A '∪B '其中:
∩表示交集。
它也可以定义为;两个集合的交集的补与它们的补的并集相同;即。
不是(A和B) =不是A或不是B
图3为表示有限集之间逻辑关系的维恩图。
图3有限集的维恩图
第一和第二定律的验证
可验证或证明的规律如下:
的验证德摩根联合定律或者第一个法律
(a u b) ' = a '∩b '
令P = (A U B) '并且Q = A '∩B '
设x是P的任意元素，则x∈P，⇒x∈(A U B) '
⇒x结果(A U B)
⇒x≠A, x≠B
⇒x∈A ' and x∈B '
⇒x∈A '∩B '
⇒x∈Q
因此，P⊂Q ................(我)
同样，设y是Q的任意元素，那么y∈Q⇒y∈A '∩B '
⇒y∈A’和y∈B’
⇒y≠A, y≠B
⇒y结果(A U B)
⇒y∈(A U B)’
⇒y∈P
因此，Q P .................(2)
现在把(i)和(ii)结合起来，我们得到;P = Q即(A U B) ' = A '∩B '。因此证明。
例子的德摩根联合定律或者第一个法律
让我们考虑通用集U和中的两个有限集P和Q
让U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, P ={4、5、6}和Q ={5 6 8}。
现在让我们验证:(P∪Q) ' = P '∩Q '。
P∪q ={4,5,6}∪{5,6,8}
= {4,5,6,8}
因此,(P∪)= {1,2,3,7 } ....................(我)
我们知道P ={4,5,6}所以P ' = {1,2,3,7,8}
and Q ={5,6,8}那么，Q ' = {1,2,3,4,7}
P '∩q ' ={1,2,3,7,8}∩{1,2,3,4,7}
因此,P“∩”= {1,2,3,7 } ....................(2)
结合(i)和(ii)我们得到;
(p∪q) ' = p '∩q '。因此证明。
图4 -代表德摩根定律的维恩图
摩根交点定律或第二定律的验证
(a∩b) ' = a ' u b '
设M = (A∩B) ' and N = A ' U B '
设x是M的任意元素，则x∈M⇒x∈(A∩B) '
⇒x≠A∩B)
⇒x≠A或x≠B
⇒x∈A '或x∈B '
⇒x∈A ' U B '
⇒x∈N
因此，M⊂N ................(我)
同样，设y是N的任意元素，那么y∈N⇒y∈A ' U B '
⇒y∈A '或y∈B '
⇒y≠A, y≠B
⇒y≠A∩B)
⇒y∈(A∩B) '
⇒y∈M
因此，N⊂M ................(2)
现在把(i)和(ii)结合起来，我们得到;M = N即(A∩B) ' = A ' U B '。因此证明。
的例子德摩根交点定律或第二定律
如果U = {j, k, l, m, n}, X = {j、k、m}和Y = {k、m、n}。
现在让我们验证:(X∩Y) ' = X ' U Y '。
我们知道U = {j, k, l, m, n}
X = {j, k, m}
Y = {k, m, n}
(X∩Y) = {j, k, m}∩{k, m, n}
= {k, m}
因此,(X∩Y) ' = {j, l, n } ...................(我)
同样，X = {j, k, m}那么X ' = {l, n}
and Y = {k, m, n}，那么，Y ' = {j, l}
X '∪Y ' = {l, n}∪{j, l}
因此,X '∪Y ' = {j, l, n } ...................(2)
结合(i)和(ii)我们得到;
(x∩y) ' = x ' u y '。因此证明。
德摩根定律的应用
这两个定律在数学和工程学的各个分支中都是极其重要的。188bet登录入口我们已经看到了它们在数学中的应用。同样，它们在计算机和电气工程中都有应用。188bet登录入口188bet登入官网
这些定律用于设计数字电路和验证SAS代码。这些定律也可以通过使用AND、OR和NOT(统称为布尔运算符)应用于文本搜索。
想象一组包含猫和狗的单词。根据德摩根定律:
搜索A:不(猫或狗)
搜索B:(不是猫)和(不是狗)
德摩根定律的局限性
这些规律通过否定联系了合取和包涵析取。
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